Сколько должен стоить талант?

Математический подход к анализу функционирования трансферного рынка

При обсуждении переходов игроков из одного клуба в другой бурно обсуждается не только куда они переходят, но и сколько клуб платит в качестве компенсации. Доходы от продажи игроков всегда были главным стимулом к выращиванию своих воспитанников ввиду отсутствия значительных издержек на их обучение (по сравнению с издержками на приобретение). Впрочем, данные об издержках на обучение не могут объяснить значительную вариацию трансферных сумм.

В рамках модели обозначим зависимость между размером клуба и талантом игрока, фиксированное число мест в клубе и незаменимость обучения во время работы. Таким образом, лучшим игрокам стоит играть в лучших и популярных клубах. Игроки больше перемещаются из низших лиг в высшие, а трансферные суммы – наоборот. Более-менее фиксированное число рабочих мест в клубе означает, что один входящий трансфер может спровоцировать серию исходящих. Горизонтальные перемещения (в рамках одной лиги) не берутся в расчёт. Делается предпосылка об отсутствии тренировочного процесса, а стоимость игрока зависит от способности развиваться в ходе матчей.

Модель

Каждый клуб нанимает одного игрока в период времени. Уровень таланта новичков неизвестен, уровень таланта «ветеранов» (которые нанимались ранее) известен. Каждый клуб принимает решение, игрока какого типа ему нанять.
1.      Доход от игрока (y) – это произведение таланта игрока (a) на размер клуба (b).
2.      Каждый период рождается ограниченное число игроков, функция распределения их таланта непрерывно возрастает, θ(i), i Е [0;1].
3.      Карьера игроков длится два периода. Во втором периоде уровень таланта игрока становится известным.
4.      Игроки максимизируют свою заработную плату, но отказываются работать за заработную плату меньше резервной, которая равна нулю.
5.      Число клубов ограничено, каждый нанимает одного игрока.
6.      Функция распределения размера клубов является непрерывно возрастающей, b(i), ii Е [0;1].
7.      Новый игрок приносит достаточно дохода, чтобы покрыть недополученные доходы, связанные с его уходом из клуба:  8.      У клубов бесконечный жизненный цикл, они нейтральны к риску и максимизируют прибыль в долгосрочном периоде.
9.      p(i) – трансферная стоимость игрока.

Здесь талант рассматривается как способность приносить клубу доход (через продажу билетов, атрибутики и т.д.). Талант оценивается по качеству игры, а не по вкладу в победные результаты, иначе общественность была бы заинтересована исключительно в победах клубов, а инвестиции в развитие игроков были бы бессмысленны с социальной точки зрения. Размер клуба – размер потенциальной аудитории, которая включает в себя аудиторию других клубов той же лиги ввиду разделения ТВ-доходов.
Каждый клуб хочет добиваться побед, так что ограничение выглядит следующим образом:

При этом должно выполняться условие безубыточности:
Связывающие ограничения не позволяют клубам нанимать игроков с уровнем таланта ниже определённого. Они определяют крутизну профиля цен: p’(i)=a’(i)b(i)

Проинтегрировав это выражение, получим равновесную цену за талант игрока:
Она не равна предельной производительности игрока, поскольку прирост таланта экономически неэквивалентен марже. Но как изменится общее благосостояние отрасли, если игрок определённого уровня таланта её покинет, и произойдут соответствующие перестановки? В таком случае предельная производительность игрока должна равняться соответствующей цене таланта.

Определение таланта
Распределение таланта потенциальных игроков фиксировано, но распределение существующих игроков зависит от того, сколько новичков нанимались в прошлом периоде. Пусть z – доля новичков, 1-z – доля «ветеранов».  Игроки, чей уровень таланта превышает некоторую отметку a*, остаются в игре, чей не превышает – покидают её. Доля новичков z ≥0,5 зависит от a*.
Профиль ожидаемого таланта в отрасли:
Равновесие при неограниченных суммах трансфера
Поскольку талант находится в соответствии с размером клуба, а новички обладают наименьшим ожидаемым талантом, в равновесии маленькие клубы будут предпочитать именно их. В равновесии z все клубы в интервале (z, 1] предпочтут покупать игроков, в интервале [0,z) – продавать, а пороговому клубу z будет безразлично.
Прибыль покупателя равна доходу от матча минус стоимость трансфера и оплата труда игрока. Сумма трансфера зависит от таланта игрока и сложившейся пропорции новичков. Клуб, входящий в интервал (z, 1], заплатит:
Соответственно, его прибыль составит:
Прибыль продавца складывается из доходов, которые приносит игрок в течение своего пребывания в клубе и ожидаемой трансферной суммы, если игрок окажется достаточно хорош, чтобы его захотели купить. Общая сумма трансферных платежей за период равна:
Средний уровень прибыли клуба-продавца в долгосрочном периоде равен:
Новички играют за резервную заработную плату, потому что их больше, чем рабочих мест. Когда клуб определяет истинный уровень таланта игрока, он получает ренту за талант в форме суммы трансфера.
Для определения порогового значения z приравняем прибыли покупателя к прибыли продавца. Заметим, что Маленькие клубы готовы пожертвовать частью сегодняшней прибыли ради более высоких доходов в будущем. Чем выше z, тем больше клубов пытаются продать игроков меньшему количеству покупателей, что снижает их цену.

Обе стороны приведённого равенства выражают ожидаемую сумму трансфера новичка. Слева альтернативные издержки найма новичка: краткосрочный потерянный доход по сравнению с наймом новичка с пороговым значением таланта, доступным бесплатно. Справа ожидаемая прибыль отрасли: новичок, играющий сегодня в маленьком клубе, увеличит прибыль больших клубов в будущем. Равенство достигается при пороговом значении z, но клубы в различных интервалах пользуются преимуществами от торговли. Маленьким клубам лучше рисковать, нанимая новичков, а большим – положиться на проверенные кадры.

Общие выводы

Все клубы решают задачу распределения ограниченного игрового времени для развития талантов, а также распределение игроков различного уровня мастерства по клубам. В данной постановке цена таланта, выраженная в трансферной стоимости, содержит информация о предельных альтернативных издержках экспериментов с составом и предельной выгоды от поиска новых талантов.
Отмена выплаты компенсации по окончании контракта приводит к росту цены таланта, иными словами, к росту зарплат. Так что в проигрыше теперь не только клубы, которые исключительно продают игроков, но и покупатели, которые проигрывают материально. Ограниченное игровое время теперь перераспределяется не в сторону экспериментов: позиции, которые раньше отдавались перспективным игрокам, теперь занимают опытные проверенные игроки, что сокращает предложение талантливых игроков и увеличивает среднюю продолжительность карьеры.